Jules Henri Poincaré

Jules Henri Poincaré (1854-1912) foi um dos maiores matemáticos da França e físicos teóricos, e um filósofo da ciência.

Como um matemático e físico, ele fez muitos originais contribuições fundamentais para a matemática pura e aplicada, física matemática e mecânica celeste. Ele foi responsável pela formulação da conjectura de Poincaré, um dos problemas mais famosos da matemática. Em sua pesquisa sobre o problema dos três corpos, Poincaré se tornou a primeira pessoa a descobrir um sistema caótico determinístico que estabeleceu as bases da teoria do caos moderno. Ele é considerado um dos fundadores do campo da topologia. Poincaré introduziu o princípio moderno da relatividade e foi o primeiro a apresentar as transformações de Lorentz na sua forma moderna simétrica. Ele descobriu as restantes transformações velocidade relativista e gravamos em uma carta a Lorentz em 1905. Assim, ele obteve invariância perfeita de todas as equações de Maxwell, o passo final na formulação da teoria da relatividade especial.

Uma das figuras mais proeminentes da história da física matemática é Henri Poincaré. Ele nasceu em Abril 29,1854 em Nancy e morreu em 17 de julho de 1912 em Paris. Ele era um verdadeiro gênio! Suas contribuições para a física e matemática foram enormes. Ele foi um dos teóricos iniciais que lançou as bases para a área da relatividade.

 

Jules Henri Poincaré foi um dos matemáticos última universal. Ele fez contribuições à teoria de funções complexas, a teoria dos números, geometria algébrica e diferencial, e muitos ramos da matemática aplicada, incluindo mecânica celeste.Ele inventou a noção de um sistema abstrato dinâmica, a fim de atacar a questão da estabilidade do sistema solar, e, no decorrer deste estudo, inventou o campo da topologia.Ele acreditava que todas as leis físicas devem ser "invariante sob o grupo de Lorentz". Este insight, que expressa as simetrias escondidas das equações de Maxwell, leva logicamente a teoria de Einstein da relatividade especial quando aplicada a mecânica newtoniana.Henri Poincaré pode ser dito ter sido o criador da topologia algébrica e da teoria das funções analíticas de várias variáveis ​​complexas.Poincaré entrou na Ecole Polytechnique em 1873 e continuou seus estudos, como um estudante de Charles Hermite, na École des Mines, da qual ele recebeu seu doutorado em matemática em 1879.Ele foi nomeado para uma cadeira de física matemática na Sorbonne, em 1881, cargo que ocupou até sua morte. Antes dos 30 anos, ele desenvolveu o conceito de funções automórfica que ele usou para resolver equações diferenciais de segunda ordem linear com coeficientes algébricos.Sua situs Analysis, publicado em 1895, é um tratamento precoce sistemático de topologia. Poincaré pode ser dito ter sido o criador da topologia algébrica e da teoria das funções analíticas de várias variáveis ​​complexas.Ele também trabalhou em geometria algébrica e fez uma grande contribuição à teoria dos números com o trabalho sobre equações diofantinas. Em matemática aplicada ele estudou óptica, eletricidade, telegrafia, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, teoria potencial, teoria quântica, teoria da relatividade e cosmologia. Ele é frequentemente descrito como o último universalista em matemática.
No campo da mecânica celeste ele estudou o problema dos três corpos, e as teorias da luz e ondas eletromagnéticas. Ele é reconhecido como um co-descobridor, com Albert Einstein e Hendrik Lorentz, da teoria da relatividade especial.Suas obras principais incluem Les Métodos de la nouvelle Méchanique celeste em três volumes publicados entre 1892 e 1899 e de Lecons mecanique celeste (1905). Na primeira delas, ele teve como objetivo caracterizar completamente todos os movimentos de sistemas mecânicos.Ele invocou uma analogia com o fluxo de fluido. Ele também mostrou que expansões em séries anteriores utilizadas no estudo do problema de 3 corpos foram convergentes, mas não em geral uniformemente convergente, assim, colocar em dúvida as provas da estabilidade de Lagrange e Laplace.Ele também escreveu muitos populares, incluindo artigos científicos Ciência e Hipótese (1901), Ciência e Método (1908) e O Valor da Ciência (1904). A citação de Poincaré é particularmente relevante para esta coleção sobre a história da matemática. Em 1908, ele escreveu

    O verdadeiro método de prever o futuro da matemática é o estudo de sua história e seu estado real.
A conjectura de Poincaré é um dos problemas mais desconcertantes e desafiadoras não resolvidos na topologia algébrica. Teoria da homotopia reduz questões topológicas para a álgebra, associando com espaços topológicos vários grupos que são invariantes algébricos.
Poincaré introduziu o grupo fundamental distinguir as diferentes categorias de superfícies bidimensionais. Ele foi capaz de mostrar que qualquer superfície 2-dimensional com o mesmo grupo fundamentais como a superfície bidimensional de uma esfera é topologicamente equivalente a uma esfera. Ele conjecturou que o resultado detidos para 3-dimensional manifolds e isso foi mais tarde estendido para dimensões mais elevadas.
Surpreendentemente provas são conhecidos pelo equivalente a conjectura de Poincaré para todas as dimensões estritamente maior que 3. Nenhum sistema de classificação completa para 3-variedades é conhecida, por isso, não existe uma lista de variedades possíveis que podem ser examinados para verificar que todas elas têm grupos de homotopia diferentes.Poincaré foi o primeiro a considerar a possibilidade de caos num sistema determinista, em seu trabalho sobre órbitas planetárias.

 

Do pouco interesse mostrado em seu trabalho até que o estudo moderno da dinâmica caótica começou em 1963.Thus Poincaré pode verdadeiramente ser considerado é o Pai da Teoria do Caos.
Quando a Conferência Solvay primeira foi realizada em Bruxelas, Bélgica, Poincaré foi um dos cientistas mais proeminentes do que prestigiado evento.

"Uma causa muito pequena que escapa à nossa atenção determina um efeito considerável que não podemos deixar de ver, e então dizemos que o efeito é devido ao acaso. Se soubéssemos exatamente as leis da natureza e da situação do universo no momento inicial , podemos prever exatamente a situação do mesmo universo em um momento seguinte. Mas mesmo se fosse o caso de que as leis naturais nolonger tinha nenhum segredo para nós, ainda pode conhecer a situação, aproximadamente. Se isso permitiu-nos prever o sucesso situação com a mesma aproximação, isso é tudo que precisamos, e devemos dizer que o fenômeno tinha sido previsto, que é regido pelas leis Mas nem sempre é assim;. pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais produzem muito grande os do finalphenomena. Um pequeno erro no primeiro irá produzir um erro enorme no último. previsão torna-se impossível ...". (Poincaré)

A 17 de Julho de 1912, com 58 anos de idade, Poincaré morreu de um embolismo enquanto se vestia.
A profundidade e variedade do seu trabalho fizeram de Poincaré um matemático sem rival no seu tempo e um dos mais influentes matemáticos da história.

Sites Pesquisados:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

http://www.ifi.unicamp.br/~ghtc/Biografias/Poincare/Poincare3.html http://www.infoescola.com/biografias/jules-henri-poincare/
 http://www.e-escola.pt/personalidades.asp?nome=poincare-jules-henri
http://pt.wikiquote.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm4/jules_henri_poincare.htm

Introdução á Algebra

Slides da Apresentação

https://docs.google.com/present/view?id=0ATX6KBHntKntZG03OTJtbV80NHczaGdncDk0&hl=en_US&pli=1

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Video Apreciando a Algebra

Conteúdos de álgebra no currículo de matemática no Brasil

 

Os alunos começam a aprender as noções de números e operações, de forma bem simples, fazendo cálculos mentais. A álgebra é vista através da aritmética com as quatro operações básicas, no currículo da escola e trabalhado desde a educação infantil até o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir daí, na escola tradicional, inicia-se a distinção de ambas, pois a aritmética é vista por se tratar de números e a álgebra de letras.

Proposta Curricular do ensino fundamental:

Ø  Conjuntos numéricos e operações;

Ø  Equações e inequações;

Ø  Polinômios; e

Ø  Proporcionalidade.

Proposta curricular para o ensino médio:

Ø  Números reais;

Ø  Números complexos;

Ø  Sistemas lineares;

Ø  Matrizes e determinantes; e

Ø  Equações e inequações exponenciais, logarítmicas e modulares.

 

Algebra e os descritores da Prova Brasil

TEMA III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES

Esse é o tema de maior prioridade para a Matemática ensinada na educação

básica. Nessa fase, ou seja, até a 8ª série, o aluno já reconhece as diferentes

representações dos números racionais, faz cálculos com valores aproximados de radicais

e faz cálculos algébricos.

As atividades relacionadas a esse tema devem abordar a resolução de situações -

problema envolvendo a localização de inteiros e racionais na reta numérica, o

reconhecimento das diferentes representações dos números racionais, a realização de

cálculos com números racionais, a resolução de problemas envolvendo porcentagens, a

resolução de cálculos algébricos, a identificação de expressões algébricas que

representam os valores de uma seqüência numérica, a identificação de equações e

desigualdades do primeiro grau em problemas significativos, a identificação de um

sistema de equações do primeiro grau e da relação entre essas equações e suas

representações geométricas.

As competências relacionadas aos descritores do tema NÚMEROS E

OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES são comentadas a seguir, considerando-se o que é

avaliado nos testes do Saeb e na Prova Brasil.

Link para acessar os descritores com exemplos de atividades:

http://www.oei.es/evaluacioneducativa/prova/8serie_matematica_temaIII.pdf

Álgebra ao longo dos tempos

Ramo da matemática que trata, entre outras coisas, da solução de equações, muitas delas conhecidas desde a Antiguidade. Por exemplo: sabe-se que um homem deve R$ 75 e que essa dívida é três vezes o que ele ganha, menos a metade dessa quantia. Qual é o salário do homem? Basta montar uma equação: 75 é igual a três vezes o salário, menos o salário dividido por dois. Usando símbolos, se escreve 75 = 3xS - S/2. A álgebra ensina a manipular os símbolos e os números da equação e a achar a resposta, que é R$ 30. Dois mil anos depois de sua invenção pelos antigos caldeus, a álgebra continua utilíssima, pois está relacionada diretamente ao desenvolvimento de novas tecnologias e produtos. Uma aplicação moderna das equações algébricas seria determinar a forma de uma caixa de papelão de modo que nela caiba exatamente 1 litro de sorvete, mas que seja feita da menor quantidade possível de papelão. Nesse caso, montam-se duas equações: A = 2 (xy + xz + yz) e xyz = 1, sendo que A é a área de papelão a ser gasta e x, y e z são a largura, o comprimento e altura da caixa. Com base nisso, descobre-se que a caixa ideal é um cubo e que cada lado desse cubo mede 10 cm.

A álgebra costuma ser dividida em duas partes e a mais antiga delas, chamada de clássica, trabalha com três tipos de número: os inteiros (como 1, 2 e 3), os decimais e as frações (como 0,1 e 1/3). Todos eles podem ser positivos ou negativos e são manipulados, nas equações, segundo as regras das operações aritméticas. São a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Empregam-se ainda duas operações "especiais" - a potenciação, pela qual se eleva um número ao quadrado ou ao cubo, e a radiciação, para extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica.

Expressões e equações - A álgebra clássica trata também das chamadas funções trigonométricas (que são relações entre os lados dos triângulos retângulos, como os senos, os co-senos e as tangentes) e dos logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a multiplicação de números muito grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números.

Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica(r) e o Maple(r), que solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas.

Álgebra abstrata - Com o trabalho do matemático francês Évariste Galois, no século XIX, as equações ficaram muito mais sofisticadas, e assim surgiu a álgebra abstrata. A idéia aqui é estudar sistemas nos quais os números e as operações já são os usuais. Eles têm propriedades novas e são somados ou diminuidos de acordo com regras que não são as que se aprendem

Proposta de ensino da álgebra utilizando o recurso da História da Matemática.

A proposta dessa atividade é o trabalho com Equações do 1° grau. Inicialmente falar um pouco sobre a História da Álgebra, ressaltando algumas transformações ocorridas ao longo dos tempos até o momento atual.  Ressaltar a importância de Diofante de Alexandria que foi o primeiro a fazer uso sistemático de abreviações nos problemas e nas operações com números utilizando para as representações das incógnitas, símbolos.

Após as discussões a cerca deste momento inicial, mostrar a imagem da representação algébrica nessa época comparando com as utilizadas nos dias atuais, destacando a relevância do filósofo e matemático René Descartes para a sistematização do uso de letras para representar termos algébricos.

Para ressignificar a aprendizagem de tais conceitos, faz-se necessário o uso de materiais concretos para os alunos mediados pelo professor , criar situações e resolver problemas, sistemas de equações ou qualquer outro conteúdo, dando importância e ao mesmo tempo mostrando onde será possível fazer uso desses conceitos.

Um fator interessante é que na sociedade atual, o conhecimento algébrico é cada vez mais valorizado e vem se provando que todos os alunos podem aprender Álgebra, contrariando a quem acreditava que só alguns podiam desenvolver habilidades nesse campo do conhecimento.

 

Referências Bibliográficas:

Módulo de História da Matemática, UNEB EaD.

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra#Hist.C3.B3ria

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf

http://www.geniodalampada.com/index.php?option=com_content&view=article&id=57:a-contextualizacao-do-ensino-da-algebra-e-formacao-de-professores&catid=50:pedagogia&Itemid=70

Revisão de literatura de propostas já existentes a respeito da utilização da história da matemática para o ensino de álgebra

A Álgebra estabelece uma forma particular de organização do pensamento. Com isso a sua abordagem histórica da edificação do conhecimento matemático, em particular, do conhecimento algébrico, pode colaborar para uma formação mais ampla do aluno e para a re-elaboração de conceitos referentes à abstração e generalização. No dizer de Caraça, atualmente, a álgebra compreende um campo de estudo muito extenso com suas mais variadas ramificações, resolvendo problemas do mundo físico e social e está presente nos cálculos e as previsões das empresas e indústrias ,dos economistas, analistas políticos, órgãos do governo, etc.

A Álgebra possibilita a descoberta de quantidades desconhecidas a partir de outras conhecidas, observamos que tais problemas são encontrados em civilizações de povos antigos mostrando a presença de uma Álgebra sem símbolos.

Assim, os conhecimentos históricos colaboram com a compreensão do desenvolvimento histórico dos conceitos os quais influenciam positivamente nas práticas pedagógicas. De acordo com Brito e Miguel (1996), a história da matemática na formação do professor pode oferecer inteligência “da natureza da matemática, dos processos de abstração, de generalização e de demonstração, das dimensões estética e ético-política da atividade matemática”.

Nobre (1996) destaca a necessidade de o professor observar que a forma acabada na qual hoje se encontra o conceito matemático esconde modificações sofridas ao longo de sua história e que isso deve ser levado em conta na elaboração de atividades para aprendizagem, já que a forma como um assunto é tratado influencia a sua compreensão.

De acordo com Bicudo (1999) o estudo da história das aplicações da matemática e dos seus usos nos mais diversos campos da sociedade pode ser de grande alcance tanto para a concepção dos currículos como para dar suporte à prática do professor na sua sala de aula.

Dentro deste quadro, muitos autores validam sobre a importância da utilização da história da matemática no processo ensino aprendizagem. Há que se ressaltar ainda, os argumentos a favor do uso didático da história da matemática segundo Tzanakis e Arcavi; Miguel e Miorim (2004, apud Baroni, 2007). Em contrapartida, apresentam alguns impedimentos ao uso didático da História da Matemática.

Uma breve revisão do ensino de Álgebra em nossas escolas faz-se necessária para contextualizar o que ocorre nas salas de aula hoje. Muitos autores ressaltam que a álgebra atualmente é ensinada, por muitos professores, de forma mecânica, realçando a memorização e a manipulação de regras. Porém, como esta forma de ensino é feita dissociada de qualquer significação, ela parece não fazer sentido para muitos alunos, perdendo o seu valor como um rico instrumento.

Com isso os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra.

A importância das reflexões desenvolvidas, objetiva conscientizar todos sobre a importância de buscar novos métodos de ensino que propiciem aos alunos uma aprendizagem mais significativa da Álgebra por haver uma surpreendente articulação da Álgebra com a tecnologia: Álgebra e máquinas, Álgebra e computação.

Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) ressaltaram o fato de que a álgebra pós matemática moderna parece retomar seu papel, anteriormente ocupado, ou seja, de um estudo com a finalidade de resolver equações e problemas. Tentou-se recuperar seu valor instrumental, mantendo seu caráter fundamentalista. Os autores ressaltaram ainda que a álgebra, apesar de ocupar boa parte dos livros didáticos atuais, não tem recebido a devida atenção nos debates, estudos e reflexões a respeito do ensino da matemática, pois alguns professores trabalham quase sempre no intuito de só memorizar fórmulas e resolver expressões sem tão somente contextualizar para que o aluno possa fazer uso do conhecimento no dia a dia.

Fundamentação teórica da utilização da História da Matemática no ensino de Àlgebra

A Álgebra surgiu há muitos anos e vem evoluindo ao longo dos tempos especialmente na abstração. J. Dieudonné disse, em [1, Capítulo III] que “… em matemática, os grandes progressos estiveram sempre ligados a progressos na capacidade de elevar-se um pouco mais no campo da abstração ”.

Antes para a representação algébrica eram utilizados símbolos. Atualmente, a Álgebra, em suas mais variadas ramificações, permeia a sociedade moderna, resolvendo problemas do mundo físico e social. Ela está presente, entre ouros, nos cálculos e nas previsões das empresas e indústrias, dos economistas, analistas políticos, órgãos do governo, etc.(TP6, p. 17).

Segundo Brito e Miorim (1999), a partir da aquisição de  conhecimentos históricos e filosóficos dos conceitos matemáticos, o professor tem a possibilidade de diversificar suas técnicas     pedagógicas e tornar-se mais criativo na elaboração de suas aulas, as quais podem provocar o interesse dos alunos para o estudo da matemática.

A Matemática é uma ciência que foi criada pelo homem, que muitas vezes chega à escola para os alunos apenas como técnicas para resolver situações-problemas, mas não apresenta sua história, de maneira que os discentes conheçam os significados por trás da álgebra e interessem pelo conteúdo.

Trabalhar com a história da Matemática favorece ao aluno compreender fatores sociais, históricos e políticos despertando a vontade de descobrir seus conceitos matemáticos favorecendo o desenvolvimento dos trabalhos do professor, visto que os discentes envolvem mais com a matemática quando conhece a história por trás dela.

D’Ambrosio (1999) argumenta  que uma abordagem adequada para incorporar a história da matemática na prática pedagógica deve enfatizar os aspectos socioeconômicos,  políticos  e culturais que propiciaram a criação matemática. Contudo,  caso o professor não tenha um conhecimento mais profundo da história da matemática,  ele pode utilizar-se  de informações históricas como curiosidades,  e  com  isso motivar seus alunos.

Faz-se interessante que o ensino da álgebra seja iniciado nas séries iniciais com questões que envolva sequência e padrões. Os PCNs sugerem atividades com números, relações funcionais  explorações de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a generalizar e compreender, por um processo de aproximações sucessivas, as representações algébricas. (BRASIL, 1998).

O estudo da álgebra possibilita o desenvolvimento do pensamento abstrato contribuindo para a resolução de situações-problemas. Segundo os PCN [...] do ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático [...] (BRASIL, 1998 p. 116).

Evolução do ensino da álgebra no Brasil

Para iniciar o estudo de álgebra pode começar buscando na História da Matemática a motivação ou mesmo o ponto de partida do aprendizado, discutindo como os antigos egípcios resolviam equações. Uma sugestão é propor uma pesquisa sobre a história da álgebra, sobre os nomes de Diofante, Al-Khowarizmi, Bhaskara, Viéte e Descartes, para mostrar que a Álgebra foi construída por diferentes povos, valorizando assim a pluralidade cultural.

Trabalhar a álgebra de forma significativa é uma das recomendações dos pesquisadores em Educação Matemática e também uma orientação dos PCNs.

Aos poucos, o aluno vai conhecendo um novo campo da matemática, no qual é usado fórmulas e cálculos com expressões literais, que é a álgebra, possibilitando entender o seu significado e efetuar cálculos literais simples. Em seguida, deve ser trabalhado a resolução de equações de 1º grau, não como simples tarefa mecânica e sim, dando ênfase à compreensão da técnica resolutiva que se baseia nas operações inversas, nas equações mais simples e, para as equações mais complexas, fazer analogias com balanças para torná-las mais compreensíveis.

Portanto o significado da álgebra deve ser explorado, indo além da simples mecanização de cálculos algébricos, para que o aluno aprenda e possa usar no dia a dia esses conhecimentos adquiridos.         

Conteúdos de álgebra no currículo de matemática no Brasil

Os alunos começam a aprender as noções de números e operações, de forma bem simples, fazendo cálculos mentais. A álgebra é vista através da aritmética com as quatro operações básicas, no currículo da escola e trabalhado desde a educação infantil até o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir daí, na escola tradicional, inicia-se a distinção de ambas, pois a aritmética é vista por se tratar de números e a álgebra de letras.

Proposta Curricular do ensino fundamental:

Ø  Conjuntos numéricos e operações;

Ø  Equações e inequações;

Ø  Polinômios; e

Ø  Proporcionalidade.

Proposta curricular para o ensino médio:

Ø  Números reais;

Ø  Números complexos;

Ø  Sistemas lineares;

Ø  Matrizes e determinantes; e

Ø  Equações e inequações exponenciais, logarítmicas e modulares.

História da Álgebra

 

O nome “ÁLGEBRA” surgiu do nome de um tratado escrito por Al-Khwarizmi, um matemático nascido na Pérsia por volta de 800 a.C.

Abu ‘Abd Allah Muhammad ibd Musa al- Khwarizmi é considerado o fundador da Álgebra como a conhecemos hoje. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa  “reunião”, “conexão” ou “complementação”, ou seja, ao pé da letra significa a reunião de partes quebradas. O objetivo do fundador da álgebra explicava-se na proposta de ensinar soluções para problemas do cotidiano.

A Álgebra surgiu na Babilônia, onde os matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos, aplicando fórmulas e calculando soluções para incógnitas de problemas que hoje são resolvidos por meio de equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas.

Nessa mesma época, os egípcios começavam a descobrir a álgebra, porém faltava à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia.

A maioria dos matemáticos egípcios eram matemáticos indianos, gregos e chineses do início do primeiro milênio a.C e normalmente resolviam equações por métodos geométricos, como descrito no  Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove Capítulos da Arte da Matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos, deram a base para generalização de fórmulas , indo além da solução de problemas particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações.