quinta-feira, 6 de outubro de 2011
Slides da Apresentação
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Conteúdos de álgebra no currículo de matemática no Brasil
Os alunos começam a aprender as noções de números e operações, de forma bem simples, fazendo cálculos mentais. A álgebra é vista através da aritmética com as quatro operações básicas, no currículo da escola e trabalhado desde a educação infantil até o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir daí, na escola tradicional, inicia-se a distinção de ambas, pois a aritmética é vista por se tratar de números e a álgebra de letras.
Proposta Curricular do ensino fundamental:
Ø Conjuntos numéricos e operações;
Ø Equações e inequações;
Ø Polinômios; e
Ø Proporcionalidade.
Proposta curricular para o ensino médio:
Ø Números reais;
Ø Números complexos;
Ø Sistemas lineares;
Ø Matrizes e determinantes; e
Ø Equações e inequações exponenciais, logarítmicas e modulares.
Algebra e os descritores da Prova Brasil
TEMA III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Esse é o tema de maior prioridade para a Matemática ensinada na educação
básica. Nessa fase, ou seja, até a 8ª série, o aluno já reconhece as diferentes
representações dos números racionais, faz cálculos com valores aproximados de radicais
e faz cálculos algébricos.
As atividades relacionadas a esse tema devem abordar a resolução de situações -
problema envolvendo a localização de inteiros e racionais na reta numérica, o
reconhecimento das diferentes representações dos números racionais, a realização de
cálculos com números racionais, a resolução de problemas envolvendo porcentagens, a
resolução de cálculos algébricos, a identificação de expressões algébricas que
representam os valores de uma seqüência numérica, a identificação de equações e
desigualdades do primeiro grau em problemas significativos, a identificação de um
sistema de equações do primeiro grau e da relação entre essas equações e suas
representações geométricas.
As competências relacionadas aos descritores do tema NÚMEROS E
OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES são comentadas a seguir, considerando-se o que é
avaliado nos testes do Saeb e na Prova Brasil.
Link para acessar os descritores com exemplos de atividades:
http://www.oei.es/evaluacioneducativa/prova/8serie_matematica_temaIII.pdfÁlgebra ao longo dos tempos
Ramo da matemática que trata, entre outras coisas, da solução de equações, muitas delas conhecidas desde a Antiguidade. Por exemplo: sabe-se que um homem deve R$ 75 e que essa dívida é três vezes o que ele ganha, menos a metade dessa quantia. Qual é o salário do homem? Basta montar uma equação: 75 é igual a três vezes o salário, menos o salário dividido por dois. Usando símbolos, se escreve 75 = 3xS - S/2. A álgebra ensina a manipular os símbolos e os números da equação e a achar a resposta, que é R$ 30. Dois mil anos depois de sua invenção pelos antigos caldeus, a álgebra continua utilíssima, pois está relacionada diretamente ao desenvolvimento de novas tecnologias e produtos. Uma aplicação moderna das equações algébricas seria determinar a forma de uma caixa de papelão de modo que nela caiba exatamente 1 litro de sorvete, mas que seja feita da menor quantidade possível de papelão. Nesse caso, montam-se duas equações: A = 2 (xy + xz + yz) e xyz = 1, sendo que A é a área de papelão a ser gasta e x, y e z são a largura, o comprimento e altura da caixa. Com base nisso, descobre-se que a caixa ideal é um cubo e que cada lado desse cubo mede 10 cm.
A álgebra costuma ser dividida em duas partes e a mais antiga delas, chamada de clássica, trabalha com três tipos de número: os inteiros (como 1, 2 e 3), os decimais e as frações (como 0,1 e 1/3). Todos eles podem ser positivos ou negativos e são manipulados, nas equações, segundo as regras das operações aritméticas. São a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Empregam-se ainda duas operações "especiais" - a potenciação, pela qual se eleva um número ao quadrado ou ao cubo, e a radiciação, para extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica.
Expressões e equações - A álgebra clássica trata também das chamadas funções trigonométricas (que são relações entre os lados dos triângulos retângulos, como os senos, os co-senos e as tangentes) e dos logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a multiplicação de números muito grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números.
Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica(r) e o Maple(r), que solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas.
Álgebra abstrata - Com o trabalho do matemático francês Évariste Galois, no século XIX, as equações ficaram muito mais sofisticadas, e assim surgiu a álgebra abstrata. A idéia aqui é estudar sistemas nos quais os números e as operações já são os usuais. Eles têm propriedades novas e são somados ou diminuidos de acordo com regras que não são as que se aprendem
A álgebra costuma ser dividida em duas partes e a mais antiga delas, chamada de clássica, trabalha com três tipos de número: os inteiros (como 1, 2 e 3), os decimais e as frações (como 0,1 e 1/3). Todos eles podem ser positivos ou negativos e são manipulados, nas equações, segundo as regras das operações aritméticas. São a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Empregam-se ainda duas operações "especiais" - a potenciação, pela qual se eleva um número ao quadrado ou ao cubo, e a radiciação, para extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica.
Expressões e equações - A álgebra clássica trata também das chamadas funções trigonométricas (que são relações entre os lados dos triângulos retângulos, como os senos, os co-senos e as tangentes) e dos logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a multiplicação de números muito grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números.
Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica(r) e o Maple(r), que solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas.
Álgebra abstrata - Com o trabalho do matemático francês Évariste Galois, no século XIX, as equações ficaram muito mais sofisticadas, e assim surgiu a álgebra abstrata. A idéia aqui é estudar sistemas nos quais os números e as operações já são os usuais. Eles têm propriedades novas e são somados ou diminuidos de acordo com regras que não são as que se aprendem
Proposta de ensino da álgebra utilizando o recurso da História da Matemática.
A proposta dessa atividade é o trabalho com Equações do 1° grau. Inicialmente falar um pouco sobre a História da Álgebra, ressaltando algumas transformações ocorridas ao longo dos tempos até o momento atual. Ressaltar a importância de Diofante de Alexandria que foi o primeiro a fazer uso sistemático de abreviações nos problemas e nas operações com números utilizando para as representações das incógnitas, símbolos.
Após as discussões a cerca deste momento inicial, mostrar a imagem da representação algébrica nessa época comparando com as utilizadas nos dias atuais, destacando a relevância do filósofo e matemático René Descartes para a sistematização do uso de letras para representar termos algébricos.
Para ressignificar a aprendizagem de tais conceitos, faz-se necessário o uso de materiais concretos para os alunos mediados pelo professor , criar situações e resolver problemas, sistemas de equações ou qualquer outro conteúdo, dando importância e ao mesmo tempo mostrando onde será possível fazer uso desses conceitos.
Um fator interessante é que na sociedade atual, o conhecimento algébrico é cada vez mais valorizado e vem se provando que todos os alunos podem aprender Álgebra, contrariando a quem acreditava que só alguns podiam desenvolver habilidades nesse campo do conhecimento.
Referências Bibliográficas:
Módulo de História da Matemática, UNEB EaD.
Revisão de literatura de propostas já existentes a respeito da utilização da história da matemática para o ensino de álgebra
A Álgebra estabelece uma forma particular de organização do pensamento. Com isso a sua abordagem histórica da edificação do conhecimento matemático, em particular, do conhecimento algébrico, pode colaborar para uma formação mais ampla do aluno e para a re-elaboração de conceitos referentes à abstração e generalização. No dizer de Caraça, atualmente, a álgebra compreende um campo de estudo muito extenso com suas mais variadas ramificações, resolvendo problemas do mundo físico e social e está presente nos cálculos e as previsões das empresas e indústrias ,dos economistas, analistas políticos, órgãos do governo, etc.
A Álgebra possibilita a descoberta de quantidades desconhecidas a partir de outras conhecidas, observamos que tais problemas são encontrados em civilizações de povos antigos mostrando a presença de uma Álgebra sem símbolos.
Assim, os conhecimentos históricos colaboram com a compreensão do desenvolvimento histórico dos conceitos os quais influenciam positivamente nas práticas pedagógicas. De acordo com Brito e Miguel (1996), a história da matemática na formação do professor pode oferecer inteligência “da natureza da matemática, dos processos de abstração, de generalização e de demonstração, das dimensões estética e ético-política da atividade matemática”.
Nobre (1996) destaca a necessidade de o professor observar que a forma acabada na qual hoje se encontra o conceito matemático esconde modificações sofridas ao longo de sua história e que isso deve ser levado em conta na elaboração de atividades para aprendizagem, já que a forma como um assunto é tratado influencia a sua compreensão.
De acordo com Bicudo (1999) o estudo da história das aplicações da matemática e dos seus usos nos mais diversos campos da sociedade pode ser de grande alcance tanto para a concepção dos currículos como para dar suporte à prática do professor na sua sala de aula.
Dentro deste quadro, muitos autores validam sobre a importância da utilização da história da matemática no processo ensino aprendizagem. Há que se ressaltar ainda, os argumentos a favor do uso didático da história da matemática segundo Tzanakis e Arcavi; Miguel e Miorim (2004, apud Baroni, 2007). Em contrapartida, apresentam alguns impedimentos ao uso didático da História da Matemática.
Uma breve revisão do ensino de Álgebra em nossas escolas faz-se necessária para contextualizar o que ocorre nas salas de aula hoje. Muitos autores ressaltam que a álgebra atualmente é ensinada, por muitos professores, de forma mecânica, realçando a memorização e a manipulação de regras. Porém, como esta forma de ensino é feita dissociada de qualquer significação, ela parece não fazer sentido para muitos alunos, perdendo o seu valor como um rico instrumento.
Com isso os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra.
A importância das reflexões desenvolvidas, objetiva conscientizar todos sobre a importância de buscar novos métodos de ensino que propiciem aos alunos uma aprendizagem mais significativa da Álgebra por haver uma surpreendente articulação da Álgebra com a tecnologia: Álgebra e máquinas, Álgebra e computação.
Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) ressaltaram o fato de que a álgebra pós matemática moderna parece retomar seu papel, anteriormente ocupado, ou seja, de um estudo com a finalidade de resolver equações e problemas. Tentou-se recuperar seu valor instrumental, mantendo seu caráter fundamentalista. Os autores ressaltaram ainda que a álgebra, apesar de ocupar boa parte dos livros didáticos atuais, não tem recebido a devida atenção nos debates, estudos e reflexões a respeito do ensino da matemática, pois alguns professores trabalham quase sempre no intuito de só memorizar fórmulas e resolver expressões sem tão somente contextualizar para que o aluno possa fazer uso do conhecimento no dia a dia.
Fundamentação teórica da utilização da História da Matemática no ensino de Àlgebra
A Álgebra surgiu há muitos anos e vem evoluindo ao longo dos tempos especialmente na abstração. J. Dieudonné disse, em [1, Capítulo III] que “… em matemática, os grandes progressos estiveram sempre ligados a progressos na capacidade de elevar-se um pouco mais no campo da abstração ”.
Antes para a representação algébrica eram utilizados símbolos. Atualmente, a Álgebra, em suas mais variadas ramificações, permeia a sociedade moderna, resolvendo problemas do mundo físico e social. Ela está presente, entre ouros, nos cálculos e nas previsões das empresas e indústrias, dos economistas, analistas políticos, órgãos do governo, etc.(TP6, p. 17).
Segundo Brito e Miorim (1999), a partir da aquisição de conhecimentos históricos e filosóficos dos conceitos matemáticos, o professor tem a possibilidade de diversificar suas técnicas pedagógicas e tornar-se mais criativo na elaboração de suas aulas, as quais podem provocar o interesse dos alunos para o estudo da matemática.
A Matemática é uma ciência que foi criada pelo homem, que muitas vezes chega à escola para os alunos apenas como técnicas para resolver situações-problemas, mas não apresenta sua história, de maneira que os discentes conheçam os significados por trás da álgebra e interessem pelo conteúdo.
Trabalhar com a história da Matemática favorece ao aluno compreender fatores sociais, históricos e políticos despertando a vontade de descobrir seus conceitos matemáticos favorecendo o desenvolvimento dos trabalhos do professor, visto que os discentes envolvem mais com a matemática quando conhece a história por trás dela.
D’Ambrosio (1999) argumenta que uma abordagem adequada para incorporar a história da matemática na prática pedagógica deve enfatizar os aspectos socioeconômicos, políticos e culturais que propiciaram a criação matemática. Contudo, caso o professor não tenha um conhecimento mais profundo da história da matemática, ele pode utilizar-se de informações históricas como curiosidades, e com isso motivar seus alunos.
Faz-se interessante que o ensino da álgebra seja iniciado nas séries iniciais com questões que envolva sequência e padrões. Os PCNs sugerem atividades com números, relações funcionais explorações de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a generalizar e compreender, por um processo de aproximações sucessivas, as representações algébricas. (BRASIL, 1998).
O estudo da álgebra possibilita o desenvolvimento do pensamento abstrato contribuindo para a resolução de situações-problemas. Segundo os PCN [...] do ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático [...] (BRASIL, 1998 p. 116).
Evolução do ensino da álgebra no Brasil
Para iniciar o estudo de álgebra pode começar buscando na História da Matemática a motivação ou mesmo o ponto de partida do aprendizado, discutindo como os antigos egípcios resolviam equações. Uma sugestão é propor uma pesquisa sobre a história da álgebra, sobre os nomes de Diofante, Al-Khowarizmi, Bhaskara, Viéte e Descartes, para mostrar que a Álgebra foi construída por diferentes povos, valorizando assim a pluralidade cultural.
Trabalhar a álgebra de forma significativa é uma das recomendações dos pesquisadores em Educação Matemática e também uma orientação dos PCNs.
Aos poucos, o aluno vai conhecendo um novo campo da matemática, no qual é usado fórmulas e cálculos com expressões literais, que é a álgebra, possibilitando entender o seu significado e efetuar cálculos literais simples. Em seguida, deve ser trabalhado a resolução de equações de 1º grau, não como simples tarefa mecânica e sim, dando ênfase à compreensão da técnica resolutiva que se baseia nas operações inversas, nas equações mais simples e, para as equações mais complexas, fazer analogias com balanças para torná-las mais compreensíveis.
Portanto o significado da álgebra deve ser explorado, indo além da simples mecanização de cálculos algébricos, para que o aluno aprenda e possa usar no dia a dia esses conhecimentos adquiridos.
Conteúdos de álgebra no currículo de matemática no Brasil
Os alunos começam a aprender as noções de números e operações, de forma bem simples, fazendo cálculos mentais. A álgebra é vista através da aritmética com as quatro operações básicas, no currículo da escola e trabalhado desde a educação infantil até o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir daí, na escola tradicional, inicia-se a distinção de ambas, pois a aritmética é vista por se tratar de números e a álgebra de letras.
Proposta Curricular do ensino fundamental:
Ø Conjuntos numéricos e operações;
Ø Equações e inequações;
Ø Polinômios; e
Ø Proporcionalidade.
Proposta curricular para o ensino médio:
Ø Números reais;
Ø Números complexos;
Ø Sistemas lineares;
Ø Matrizes e determinantes; e
Ø Equações e inequações exponenciais, logarítmicas e modulares.
História da Álgebra
O nome “ÁLGEBRA” surgiu do nome de um tratado escrito por Al-Khwarizmi, um matemático nascido na Pérsia por volta de 800 a.C.
Abu ‘Abd Allah Muhammad ibd Musa al- Khwarizmi é considerado o fundador da Álgebra como a conhecemos hoje. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa “reunião”, “conexão” ou “complementação”, ou seja, ao pé da letra significa a reunião de partes quebradas. O objetivo do fundador da álgebra explicava-se na proposta de ensinar soluções para problemas do cotidiano.
A Álgebra surgiu na Babilônia, onde os matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos, aplicando fórmulas e calculando soluções para incógnitas de problemas que hoje são resolvidos por meio de equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas.
Nessa mesma época, os egípcios começavam a descobrir a álgebra, porém faltava à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia.
A maioria dos matemáticos egípcios eram matemáticos indianos, gregos e chineses do início do primeiro milênio a.C e normalmente resolviam equações por métodos geométricos, como descrito no Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove Capítulos da Arte da Matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos, deram a base para generalização de fórmulas , indo além da solução de problemas particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações.
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